MAKALAH
KELIPATAN PERSEKUTUAN
TERKECIL ( KPK )
Disusun untuk Memenuhi
Tugas Mata Kuliah Matematika
Dosen Pengampu :
Trimurti, S.Pd., M. Pd.
Disusun :
Kelompok 7
1.
Hafid Ahmad Fanshuri (1401414259)
2.
Ulfah Nurul Wahdah (1401414283)
3.
Veri Arif Noviyanto (1401414285)
4.
Desi Rusiani (1401414311)
5.
Mela Ferantika (1401414321)
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
TAHUN 2014
KATA
PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil
menyelesaikan Makalah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul
“KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL”
Pada
kesempatan ini, kami ingin menyampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu dan selalu memberi dukungan, mereka adalah:
1.
Trimurtini,
S.Pd., M.Pd., selaku
Dosen Mata Kuliah Matematika yang telah memberikan bimbingan serta arahan dalam
mengerjakan makalah ini.
2. Kedua
orang tua kami yang telah memberikan dukungan baik secara moral maupun material
kepada kami sehingga kami bisa menyelesaikan Makalah ini.
3. Teman-teman
Rombel E yang telah memberikan dukungan serta bantuan.
4. Semua
pihak yang telah membantu dalam proses penulisan Makalah ini.
Makalah ini berisikan tentang informasi
materi KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL atau yang lebih khususnya membahas DEFINISI KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK),
METODE UNTUK MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK),
METODE PEMBAGIAN DENGAN BILANGAN PRIMA, MENENTUKAN KPK DENGAN CARA SENGKEDAN, MENENTUKAN KPK DENGAN MENGGUNAKAN GARIS BILANGAN.
Diharapkan
Makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang KELIPATAN
PERSEKUTUAN KECIL.
Kami menyadari
bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran
dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan
makalah ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Semarang,
17 September 2014
Penyusun
DAFTAR ISI
COVER .............................................................................................................................. 1
KATA PENGANTAR........................................................................................................
2
DAFTAR ISI......................................................................................................................
3
BAB 1 (PENDAHULUAN)
LATAR BELAKANG.................................................................................................
4
RUMUSAN MASALAH............................................................................................
4
TUJUAN PENULISAN..............................................................................................
4
BAB 2 (PEMBAHASAN)
DEFINISI KELIPATAN
PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK).............................
5
METODE UNTUK MENENTUKAN
KELIPATAN
PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)........................................................................
5
METODE PEMBAGIAN DENGAN
BILANGAN PRIMA....................................
8
MENENTUKAN KPK DENGAN CARA
SENGKEDAN.......................................
9
MENENTUKAN KPK DENGAN
MENGGUNAKAN GARIS BILANGAN....... 9
BAB 3 (PENUTUP)
KESIMPULAN...........................................................................................................
11
SARAN........................................................................................................................
11
DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................................
36
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berfikir dan
berperilaku anak yang positif. Tatanan berfikir yang ingin dibentuk adalah
kemampuan berfikir logis, kritis dan sistematis. Sehingga dari kemampuan
berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa berprilaku positif,
terarah dan efektif.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah
satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir setiap orang. Oleh karena
itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat
diharapkan sudah tumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada
anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap
matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan “Fun
Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat tercipta apabila
seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan metode dan
teknik-teknik yang bervariatif sehingga tidak monoton dan membosankan bagi anak
didik.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah
adalah bilangan. Pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat
membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK) yang merupakan materi yang diajarkan dari tingkat SD
sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematikaSMA.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah
pada makalah ini adalah :
1. Apa definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?
2. Bagaimana metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan
Terkecil (KPK) ?
3. Bagaimana pengajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah
ini adalah :
1. Untuk mengetahui definisi dari Kelipatan Persekutuan Terkecil
(KPK).
2. Untuk mengetahui metode untuk menentukan Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK).
3.
Untuk mengetahui pengajaran
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
BAB
II
PEMBAHASAN
1.
Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan
suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis oleh bilangan
tersebut. Misalnya himpunan 2 adalah {2, 4, 6, 8, 10} himpunan kelipatan dari 4
adalah {4, 8, 12, 16,……} kelipatan persekutuan adalah himpunan irisan dari
himpunan-himpunan kelipatan. Misalnya dari himpunan kelipatan persekutuan 2 dan
4 adalah {4, 8, 12,……} dari himpunan itu anggota terkecilnya adalah 4, maka
kelipatan persekutuan terkecil (KPK adalah anggota terkecil dari anggota
himpunan kelipatan persekutuan). Jadi, Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian dari sebuah faktor-faktor
(prima) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.
2. Metode untuk
Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
1. Metode Irisan Himpunan
Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan
himpunan kelipatan-kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian
kita tentukan himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan
akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p,q
anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan
bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.
Contoh 1 :
Contoh 1 :
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab :
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ………
K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ……
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :
K8 = K12 = 240, 480, 720 …..
Karena bilangan terkecil dari K8 C K12 adalah 24, KPK dari 8
dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12). = 24.
Contoh 2:
Contoh 2:
Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
K40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440,
480,…
K60 = 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,…
K80 = 80, 160, 240, 320, 400, 480,…
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah
K8 = K12 = 240, 480, 720,…
Karena bilangan terkecil dari K40 C K60 C K80 adalah 240, KPK
dari 40, 60 dan 80 adalah 240 dan ditulis
KPK (40, 60, 80) = 240
2. Metode Faktorisasi Prima
Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali
terlalu panjang, khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau
lebih bilangan-bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk
menentukan KPK dari beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi,
KPK diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan
bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.
Contoh 1 :
Mika dan Miko
bersama-sama terdaftar sebagai siswa di suatu lembaga bimbingan belajar. Dalam
lembaga bimbingan belajar tersebut, Mika memiliki jadwal untuk les matematika
tiap 2 hari sekali, sedangkan Miko tiap 3 hari sekali. Apabila hari ini mereka
bertemu dalam les matematika, berapa hari lagi mereka akan bertemu di les
matematika berikutnya.
Sehingga,
12=22×3
18 = 2 × 32
18 = 2 × 32
Setelah mengubah 12 dan 18 dalam
bentuk faktorisasi primanya, selanjutnya kita akan tentukan KPK dari kedua bilangan
tersebut. Bagaimana cara menentukan KPK dari beberapa bilangan apabila
faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut diketahui?
KPK dari beberapa bilangan dapat
ditentukan dengan mengalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut
dan dipilih pangkat yang paling tinggi.
Perhatikan bahwa 12 sama dengan
2 pangkat 2 dikali 3. Sedangkan 18 sama dengan 2 kali 3 pangkat 2. Sehingga
semua faktor prima dari kedua bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Pangkat
tertinggi dari 2 adalah 2 dan pangkat tertinggi dari 3 adalah 2. Sehingga KPK
dari 12 dan 18 adalah 22 × 32 = 36.
Contoh 2 :
Tentukan KPK (40, 12)
Jawab : :
Faktorisasi prima dari 40 dan 12, yaitu :
Faktorisasi prima dari 40 dan 12, yaitu :
40 = 23 x 5
12 = 22 x 3
Jika m = KPK (40, 12) maka m adalah sebuah kelipatan dari 40
dan ini harus memuat 23 dan 5 sebagai faktornya. Juga m adalah kelipatan 12 dan
ini harus memuat 22 dan 3 sebagai faktornya. Karena 23 adalah kelipatan 22,
maka m = 23 x 5 x 3 = 120.
Contoh 3:
Tentukan KPK dari 2520 dan 10530.
Jawab :
Faktorisasi dari 2520 dan 10530, yaitu :
2520 = 23 x 32 x 5 x 7
10530 = 2 x 34 x 5 x 13
Maka KPK (2520, 10530) = 23 x 43 x 5 x 7 x 13 = 232960
3. Metode Pembagian dengan Bilangan Prima
Metode lain untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil
(KPK) dari beberapa bilangan asli adalah menggunakan pembagian dengan bilangan
prima. Metode ini mulai dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi
paling sedikit satu dari bilangan yang diberikan, kemudian proses pembagian ini
dilanjutkan sampai baris dimana jawabannya berisi bilangan-bilangan 1.
Contoh :
Tentukan KPK (12 , 75 , 120)
Jawab :
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita mulai dengan bilangan
prima terkecil yang dapat membagi paling sedikit satu dari bilangan yang
diberikan dan membaginya sebagai berikut :
2 12, 75, 120
6 , 75, 60
Karena 2 tidak habis membagi 75, tulis kembali 75 di bawah.
Untuk memperoleh KPK dengan menggunakan prosedur ini, kita teruskan pembagian
ini sampai baris dimana jawabannya berisi bilangan-bilangan 1.
2 12 , 75 , 120
2 6 , 75 , 60
2 3 , 75 , 30
2 3 , 75 , 15
3 1 , 25 , 5
5 1 , 5 , 1
5 1 , 1 , 1
Dengan demikian, KPK (12, 75, 120) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5=
23 x 3 x 52 = 600
4.
Menentukan KPK dengan Cara Sengkedan
Kali ini kita
akan mencoba untuk menentukan KPK dari 3 bilangan, yaitu 1.575, 2.625, dan
6.615. Untuk menentukan KPK dari tiga bilangan tersebut dengan cara sengkedan,
perhatikan gambar berikut:
Aturan dalam cara sengkedan
untuk menentukan KPK hampir sama dengan menentukan FPB.
Apabila FPB dari beberapa bilangan merupakan perkalian dari bilangan prima
pembagi yang dilingkari, untuk menentukan KPK kita harus mengalikan semua
bilangan prima pembagi tersebut. Sehingga KPK dari 1.575, 2.625, dan 6.615
adalah 33 × 53 × 72 = 165.375.
5. Menentukan KPK dengan Menggunakan Garis Bilangan
Pengajaran mencari persekutuan terkecil dapat juga
menggunakan garis bilangan. Misalnya hendak menunjukan cara mencari kelipatan
persekutuan terkecil dari 4 dan 15. Pertama susun daftar kelipatan dari yang
terbesar di antara kedua bilangan itu, yaitu kelipatan 15.Kelipatan 15= { 15,
30, 45, 60, 75, 90 ……}
Kemudian daftar kelipatan dari bilangan yang lebih kecil, yaitu kelipatan dari 4.
Kelipatan 4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84 ……} Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 15 adalah 60.
Perhatikan bahwa hasil kali kedua bilangan tersebut adalah sama dengan kelipatan persekutuan terkecil. Akan tetapi belum tentu hasil kali itu adalah kelipatan persekutuan terkecil. Agar dapat memperoleh kejelasan tentang hal ini perhatikan dua pasang bilangan (24, 4) dan (24, 5). Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 24 yang tidak sama dengan 24 x 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 5 adalah 120. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa 4 merupakan factor dari 24, jadi 24 juga kelipatan dari 4. Dengan demikian kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 1 x 24 dan bukan 4 x 24 = 96. Sedangkan 5 adalah prima maka kelipatan persekutuan dari 24 dan 5 adalah 24 x 5 = 120.
Kemudian daftar kelipatan dari bilangan yang lebih kecil, yaitu kelipatan dari 4.
Kelipatan 4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84 ……} Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 15 adalah 60.
Perhatikan bahwa hasil kali kedua bilangan tersebut adalah sama dengan kelipatan persekutuan terkecil. Akan tetapi belum tentu hasil kali itu adalah kelipatan persekutuan terkecil. Agar dapat memperoleh kejelasan tentang hal ini perhatikan dua pasang bilangan (24, 4) dan (24, 5). Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 24 yang tidak sama dengan 24 x 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 5 adalah 120. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa 4 merupakan factor dari 24, jadi 24 juga kelipatan dari 4. Dengan demikian kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 1 x 24 dan bukan 4 x 24 = 96. Sedangkan 5 adalah prima maka kelipatan persekutuan dari 24 dan 5 adalah 24 x 5 = 120.
BAB
III
PENUTUP
A. Simpulan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian
dari dua buah faktor-faktor (pria) yang berbeda dengan mengambil pangkat
tertinggi. Terdapat empat metode untuk menentukan KPK, yaitu :
1.
Metode Irisan Himpunan
2.
Metode Faktosiswa, sehrisasi Prima
3.
Metode Pembagian dengan
Bilangan Prima
4.
Menentukan KPK
dengan Cara Sengkedan
5.
Menentukan KPK dengan Menggunakan Garis Bilangan
B.
Saran
Bagi
guru hendaknya lebih kreatif dalam menciptakan metode-metode pemecahan masalah
matematika yang mudah dipahami siswa, sehingga siswa yidak merasa kesulitan
dalam mengerjaka soal-soal matematika.
Bagi mahasiswa hendaknya lebih giat dalam mempelajari
alternative pemecahan masalah Matematika yang mungkin dapat digunakan ketika
mengajar di SD kelak.
Daftar Pustaka :
Jakarta
- Follow Us on Twitter!
- "Join Us on Facebook!
- RSS
Contact