Senin, 20 April 2015

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL ( KPK )




MAKALAH
KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL ( KPK )
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika
Dosen Pengampu : Trimurti, S.Pd., M. Pd.


Disusun :
Kelompok 7
1.      Hafid Ahmad Fanshuri  (1401414259)
2.      Ulfah Nurul Wahdah     (1401414283)
3.      Veri Arif Noviyanto        (1401414285)
4.      Desi Rusiani                     (1401414311)
5.      Mela Ferantika                (1401414321)

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
TAHUN 2014
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL”

Pada kesempatan ini, kami ingin menyampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dan selalu memberi dukungan, mereka adalah:
1.    Trimurtini, S.Pd., M.Pd., selaku Dosen Mata Kuliah Matematika yang telah memberikan bimbingan serta arahan dalam mengerjakan makalah ini.
2.    Kedua orang tua kami yang telah memberikan dukungan baik secara moral maupun material kepada kami sehingga kami bisa menyelesaikan Makalah ini.
3.    Teman-teman Rombel E yang telah memberikan dukungan serta bantuan.
4.    Semua pihak yang telah membantu dalam proses penulisan Makalah ini.
           
       Makalah ini berisikan tentang informasi materi KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL atau yang lebih khususnya membahas DEFINISI KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK), METODE UNTUK MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK), METODE PEMBAGIAN DENGAN BILANGAN PRIMA, MENENTUKAN KPK DENGAN CARA SENGKEDAN, MENENTUKAN KPK DENGAN MENGGUNAKAN GARIS BILANGAN.
Diharapkan Makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL.   
           
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

            Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Semarang, 17 September 2014


                                                                                                                   Penyusun
DAFTAR ISI

COVER ..............................................................................................................................  1
KATA PENGANTAR........................................................................................................ 2
DAFTAR ISI...................................................................................................................... 3

BAB 1 (PENDAHULUAN)
       LATAR BELAKANG................................................................................................. 4
       RUMUSAN MASALAH............................................................................................ 4
       TUJUAN PENULISAN.............................................................................................. 4

BAB 2 (PEMBAHASAN)
       DEFINISI KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)............................. 5
       METODE UNTUK MENENTUKAN KELIPATAN
       PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)........................................................................ 5
       METODE PEMBAGIAN DENGAN BILANGAN PRIMA.................................... 8
       MENENTUKAN KPK DENGAN CARA SENGKEDAN....................................... 9
       MENENTUKAN KPK DENGAN MENGGUNAKAN GARIS BILANGAN....... 9
      
BAB 3 (PENUTUP)
       KESIMPULAN........................................................................................................... 11
       SARAN........................................................................................................................ 11

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................... 36










BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
            Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berfikir dan berperilaku anak yang positif. Tatanan berfikir yang ingin dibentuk adalah kemampuan berfikir logis, kritis dan sistematis. Sehingga dari kemampuan berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa berprilaku positif, terarah dan efektif.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir setiap orang. Oleh karena itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah tumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan metode dan teknik-teknik yang bervariatif sehingga tidak monoton dan membosankan bagi anak didik.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan. Pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) yang merupakan materi yang diajarkan dari tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematikaSMA.

B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah pada makalah ini adalah :
1.      Apa definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?
2.      Bagaimana metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?
3.      Bagaimana pengajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?

C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah ini adalah :
1.      Untuk mengetahui definisi dari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
2.      Untuk mengetahui metode untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
3.      Untuk mengetahui pengajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
BAB II
PEMBAHASAN


1.      Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

            Kelipatan suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis oleh bilangan tersebut. Misalnya himpunan 2 adalah {2, 4, 6, 8, 10} himpunan kelipatan dari 4 adalah {4, 8, 12, 16,……} kelipatan persekutuan adalah himpunan irisan dari himpunan-himpunan kelipatan. Misalnya dari himpunan kelipatan persekutuan 2 dan 4 adalah {4, 8, 12,……} dari himpunan itu anggota terkecilnya adalah 4, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK adalah anggota terkecil dari anggota himpunan kelipatan persekutuan). Jadi, Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian dari sebuah faktor-faktor (prima) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.
2.      Metode untuk Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

1. Metode Irisan Himpunan
            Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian kita tentukan himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.
Contoh 1 :
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab :
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ………

K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ……

Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :
K8 = K12 = 240, 480, 720 …..
Karena bilangan terkecil dari K8 C K12 adalah 24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12). = 24.
Contoh 2:
Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
K40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480,…
K60 = 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,…
K80 = 80, 160, 240, 320, 400, 480,…
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah
K8 = K12 = 240, 480, 720,…
Karena bilangan terkecil dari K40 C K60 C K80 adalah 240, KPK dari 40, 60 dan 80 adalah 240 dan ditulis
KPK (40, 60, 80) = 240

2. Metode Faktorisasi Prima
            Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali terlalu panjang, khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau lebih bilangan-bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk menentukan KPK dari beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi, KPK diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.

Contoh 1 :
Mika dan Miko bersama-sama terdaftar sebagai siswa di suatu lembaga bimbingan belajar. Dalam lembaga bimbingan belajar tersebut, Mika memiliki jadwal untuk les matematika tiap 2 hari sekali, sedangkan Miko tiap 3 hari sekali. Apabila hari ini mereka bertemu dalam les matematika, berapa hari lagi mereka akan bertemu di les matematika berikutnya.



Pohon Faktor 





Sehingga,
12=22×3
18 = 2 × 32
Setelah mengubah 12 dan 18 dalam bentuk faktorisasi primanya, selanjutnya kita akan tentukan KPK dari kedua bilangan tersebut. Bagaimana cara menentukan KPK dari beberapa bilangan apabila faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut diketahui?
KPK dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut dan dipilih pangkat yang paling tinggi.
Perhatikan bahwa 12 sama dengan 2 pangkat 2 dikali 3. Sedangkan 18 sama dengan 2 kali 3 pangkat 2. Sehingga semua faktor prima dari kedua bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Pangkat tertinggi dari 2 adalah 2 dan pangkat tertinggi dari 3 adalah 2. Sehingga KPK dari 12 dan 18 adalah 22 × 32 = 36.
Contoh 2 :
Tentukan KPK (40, 12)
Jawab  : :
Faktorisasi prima dari 40 dan 12, yaitu :
40 = 23 x 5
12 = 22 x 3
Jika m = KPK (40, 12) maka m adalah sebuah kelipatan dari 40 dan ini harus memuat 23 dan 5 sebagai faktornya. Juga m adalah kelipatan 12 dan ini harus memuat 22 dan 3 sebagai faktornya. Karena 23 adalah kelipatan 22, maka m = 23 x 5 x 3 = 120.
Contoh  3:
Tentukan KPK dari 2520 dan 10530.
Jawab :
Faktorisasi dari 2520 dan 10530, yaitu :
2520 = 23 x 32 x 5 x 7
10530 = 2 x 34 x 5 x 13
Maka KPK (2520, 10530) = 23 x 43 x 5 x 7 x 13 = 232960

3. Metode Pembagian dengan Bilangan Prima

Metode lain untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan asli adalah menggunakan pembagian dengan bilangan prima. Metode ini mulai dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi paling sedikit satu dari bilangan yang diberikan, kemudian proses pembagian ini dilanjutkan sampai baris dimana jawabannya berisi bilangan-bilangan 1.
Contoh :
Tentukan KPK (12 , 75 , 120)
Jawab :
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita mulai dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi paling sedikit satu dari bilangan yang diberikan dan membaginya sebagai berikut :
2 12, 75, 120
6 , 75, 60
Karena 2 tidak habis membagi 75, tulis kembali 75 di bawah. Untuk memperoleh KPK dengan menggunakan prosedur ini, kita teruskan pembagian ini sampai baris dimana jawabannya berisi bilangan-bilangan 1.
2 12 , 75 , 120
2 6 , 75 , 60
2 3 , 75 , 30
2 3 , 75 , 15
3 1 , 25 , 5
5 1 , 5 , 1
5 1 , 1 , 1
Dengan demikian, KPK (12, 75, 120) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5= 23 x 3 x 52 = 600

4.      Menentukan KPK dengan Cara Sengkedan
Kali ini kita akan mencoba untuk menentukan KPK dari 3 bilangan, yaitu 1.575, 2.625, dan 6.615. Untuk menentukan KPK dari tiga bilangan tersebut dengan cara sengkedan, perhatikan gambar berikut:
Cara Sengkedan
Aturan dalam cara sengkedan untuk menentukan KPK hampir sama dengan menentukan FPB. Apabila FPB dari beberapa bilangan merupakan perkalian dari bilangan prima pembagi yang dilingkari, untuk menentukan KPK kita harus mengalikan semua bilangan prima pembagi tersebut. Sehingga KPK dari 1.575, 2.625, dan 6.615 adalah 33 × 53 × 72 = 165.375.
5.      Menentukan KPK dengan Menggunakan Garis Bilangan
Pengajaran mencari persekutuan terkecil dapat juga menggunakan garis bilangan. Misalnya hendak menunjukan cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 15. Pertama susun daftar kelipatan dari yang terbesar di antara kedua bilangan itu, yaitu kelipatan 15.Kelipatan 15= { 15, 30, 45, 60, 75, 90 ……}
Kemudian daftar kelipatan dari bilangan yang lebih kecil, yaitu kelipatan dari 4.
Kelipatan 4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84 ……}
Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 15 adalah 60.
Perhatikan bahwa hasil kali kedua bilangan tersebut adalah sama dengan kelipatan persekutuan terkecil. Akan tetapi belum tentu hasil kali itu adalah kelipatan persekutuan terkecil. Agar dapat memperoleh kejelasan tentang hal ini perhatikan dua pasang bilangan (24, 4) dan (24, 5). Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 24 yang tidak sama dengan 24 x 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 5 adalah 120. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa 4 merupakan factor dari 24, jadi 24 juga kelipatan dari 4. Dengan demikian kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 4 adalah 1 x 24 dan bukan 4 x 24 = 96. Sedangkan 5 adalah prima maka kelipatan persekutuan dari 24 dan 5 adalah 24 x 5 = 120.


BAB III
PENUTUP


A. Simpulan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian dari dua buah faktor-faktor (pria) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi. Terdapat empat metode untuk menentukan KPK, yaitu :
1.      Metode Irisan Himpunan
2.      Metode Faktosiswa, sehrisasi Prima
3.      Metode Pembagian dengan Bilangan Prima
4.      Menentukan KPK dengan Cara Sengkedan
5.      Menentukan KPK dengan Menggunakan Garis Bilangan
B. Saran
            Bagi guru hendaknya lebih kreatif dalam menciptakan metode-metode pemecahan masalah matematika yang mudah dipahami siswa, sehingga siswa yidak merasa kesulitan dalam mengerjaka soal-soal matematika.
Bagi mahasiswa hendaknya lebih giat dalam mempelajari alternative pemecahan masalah Matematika yang mungkin dapat digunakan ketika mengajar di SD kelak.














Daftar Pustaka :

0 komentar:

Posting Komentar

 
;